考点分析：图形的性质必备知识点（图形的性质有哪些）

引言丨本次我们分享的是图形的性质必备知识点。图形其实讨论的就是几何，几何不但在初中占比比较大，在高中也是有着比较大的比重。打好几何知识的基础非常重要。

【思维导图】

解说丨图形的性质，不愧是一个重点知识，共有11个知识点，答题技巧有13个，易错点共有20个。11个知识点是基础，如果细分可以分成18个知识点出来。主要内容是在：基础几何、三角形、三角形全等、等腰三角形和等边三角形、直角三角形与勾股定理、解直角三角形、多边形与平行四边形，特殊平行四边形、圆的有关性质、圆的相关计算、尺规作图。

这五个知识点我们必须吃透，这是我们拿高分的保证。

【知识点归纳】

知识点1：线、角、相交线与平行线

1．直线、射线、线段与角

1）直线公理：经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.

2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.

3）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.

4）两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。

5）1°=60',1'=60″.

6）1周角=2平角=4直角=360°.

7）余角、补角:如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等。

2.对顶角

一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.

3.角平分线

角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上。

4.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5.垂线段公理

直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.

6.线段垂直平分线

1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线。

2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

7.平行线

1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

平行线的性质:	平行线的判定:
两条直线平行,同位角相等;	同位角相等,两条直线平行
两条直线平行,内错角相等;	内错角相等,两条直线平行
两条直线平行,同旁内角互补.	同旁内角互补,两条直线平行

知识点2：全等三角形

1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2. 全等三角形的判定方法

（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)

（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)

（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)

（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)

3. 全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边、对应角相等.

（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.

（3）全等三角形的周长相等、面积相等.

知识点3：等腰三角形、等边三角形、直角三角形

1.等腰三角形

定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形。

性质:

①等腰三角形的两腰相等;

②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”;

④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.

判定:

①有两条边相等的三角形是等腰三角形;

②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”.

2.等边三角形

定义:三边相等的三角形是等边三角形.

性质:

①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;

②“三线合一”;

③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.

判定:

①三条边都相等的三角形是等边三角形;

②三个角都相等的三角形是等边三角形;

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形

1）性质:

①直角三角形的两锐角互余;

②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;

③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.

2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

3）勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;

②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.

知识点4：锐角三角函数

1.锐角三角函数的概念

（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

（2）在△ABC中，∠C=90°,

2.特殊角的三角函数值

知识点5：解直角三角形

1.解直角三角形

（1）解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.

（2）直角三角形的解法

直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:

2.与解直角三角形有关的名词、术语

（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.

从下向上看,叫做仰角;

从上往下看,叫做俯角.

（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.

（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=h/l.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.

知识点6：多边形

1. 多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.

2. 正多边形：在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.

3.多边形的对角线：在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.

知识点7：平行四边形

1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.

2. 平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行;

（2）平行四边形的对边相等;

（3）平行四边形的对角相等;

（4）平行四边形的对角线互相平分.

3. 平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

知识点8：菱形

1.定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.

3. 判定方法:

①一组邻边相等的平行四边形是菱形;

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

③四条边都相等的四边形是菱形.

4. 设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=1/2*l1l2.

知识点9：矩形

1.定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.

3.判定方法:

①有三个角是直角的四边形是矩形;

②对角线相等的平行四边形是矩形;

③有一个角是直角的平行四边形是矩形.

4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.

知识点10：正方形

1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.

2. 正方形的性质

（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.

（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.

（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.

3. 正方形的判定方法

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.

（3）有一个角是直角的菱形是正方形.

（4）对角线相等的菱形是正方形.

4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系

知识点11：圆的有关概念及性质

1. 圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.
2. 圆具有对称性和旋转不变性.
3. 不共线的三点确定一个圆.
4. 圆上各点到圆心的距离都等于半径.
5. 圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.
6. 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
7. 弧、弦、圆心角的关系

定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.

知识点12：*垂径定理

1.定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.推论1：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

3.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.

知识点13：与圆有关的角及其性质

1.圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.

圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：

① 同弧或等弧所对的圆周角相等.

② 半圆(或直径)所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

③ 圆内接四边形的对角互补.

知识点14：圆周长、弧长计算

知识点15：圆、扇形面积计算

知识点16：圆柱、圆锥的有关计算

知识点17：正多边形与圆

1.正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.

2.圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的内角和=(n-2)·180°;

知识点18：点、线与圆的位置关系

1.如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:

（1）点在圆外⇔d>r;

（2）点在圆上⇔d=r;

（3）点在圆内⇔d<r.

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

3.切线的性质与判定

（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【解题方法总结】

1．应用平行线巧建“三角形”求角的度数

平行线可以迁租等角或者构造互补的角：

平行线 1条角平分线则可以构适“等腰三角形”如图①；

平行线十2条角平分线，则可以构造“直角三传形”如图②

2．求三角形角的度数，一般涉及以下几个知识点

（1）等边对等角，把边的关系转化为角的关系

（2）角平分线以及等腰三角形的三线合一

（3）三角形的内角和为180.

（4）直角三角形的两锐角至余

（5）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

3．等腰三角形的性质:

（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等(简称:等边对等角)

（3）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重全(三线合一)

4．直角三角形的两个“一半”

（1）直角三角形边上的中线等于斜边的一半

（2）直角三角形中30角所对的直边等于斜边的一半

5．股定理与逆定理：已知a,b,c为△ABC的三边，c为斜边，满足a2 b2=c2→三角形为直角三角形

6．判定三角形金等的思路

7．借助公共边，公共角，对顶角等一些现有条中，证明三角形全等常用的三角形全等基本模型：

注：寻找对应元素的方法：其中对应边所对的角是对应角，对应角所对应的边是对应边

8．判定平行四边形的三种途径，五种方法：

途径一：从边看

① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

途径二：从角看

④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

途径三：从对角线看

⑤ 两条对角线互相分的四边形是平行四边形

9．对角线判定矩形、菱形、正方形

① 矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形

② 菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

③ 正方形判定：对角线相等且互相垂直平行四边形是正方形

10．从平行四边形出发，判定正方形的方法：

（1）平行四边形十邻边相等十一内角为直角=正方形

（2）平行四边形十邻边相等十对角线相等=正方形

（3）平行四边形十一内角为直角十对角线互相重直=正方形

11．应用圆的有关性质解题常见辅助线作法：

（1）作垂线段：过圆心作弦的垂线段，与圆的半经，弦长的一半构造直三角形，应用勾股定理或解直角三角形的知识解决问题。

（2）连接半轻：构造同弧所对的圆心及圆周角，利用它们之间的关系解题

（3）构造直角：构造直径所对的圆周角是直角，解决与圆相关的问题时常用的辅助线，为勾股定理，解直角三角形等知识的应用创造了条件。

12．圆周角性质应用转化两方法:

（1）利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化

（2）角的相等转化为线段(弦)的相等

13．与圆的有关的位置关系中常见的四种辅助线。

（1）有切线，连结圆心和切点，构造垂直关系

（2）切线的判定

① 已知直线与圆的公共点，则“连半经证垂直”

② 已知条件中没有直线与圆没有有公共点，则“作垂直证等径”

（3）有内心，连接内心与顶点，构造角平分线

（4）有外心，连接外心与顶点，构造相等线段

14．不规律图形面积计算

（1）解题思想：把不规则圆形的面积转化为规则图形面积的和或者差

（2）转化方法：

① 应用全等变换(平移、旋转、翻折)进行等积变换；

② 割补法；

③ 利用同底等高或等底同高原理；

④ 应用整体思想进行求解。

15．解直角三角形实际应用问题的五个步骤：

（1）把实际问题转化为数学问题，转化的过程就是识别方位角，仰角，俯角等概念；

（2）分析题目中的已知条件和要求的线段的长度，可在图上适当的做些标记；

（3）用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要哪些中间量（线段或角进行过渡）

（4）解直角三角形，有时还需要构造直角三角形

（5）写出答案

16．非直角三角开形构建直三角形的步骤

（1）在一个直角三角形中利用一个三角函数建立边角关系

（2）在另一个直角三角形中利用三角出数列出关系式求解

【易错点讲解】

易错点1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.

例题：

解析：答案7，如图连接B1A，C1B，A1C，题目里面出现了中点，还在三角形当中，我们就要想到同底等高三角形的面积相等。中线把三角形分成了两个面积相等的三角形。途中的七个小三角形的面积相等，都等于1，所以△A1B1C1面积等于7。

易错点2：三角形三边之间的关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

例题：

解析：答案是B，三角形任意两边之和大于第三边的对立面是三角形任意两边之和小于第三边，把可能的组合列出来。得到只有4，7，9；3，7，9这两个组合。

易错点3：三角形按边、按角的分类，三角形内、外角的性质，特别是外角的两条性质

例题：

解析：答案是C，这一题的①②③证明比较快，∠BAC的度数可以根据内角和定理求得，根据三角形内角和和外角的知识可以求得∠DOC的度数是85°，∠BDC＝35°，这里就是∠DAC的度数求起来有些复杂，是要作辅助线，题目已经把辅助线做好了。一般角平分线的辅助线就是做垂线段。过点D分别作DM⊥AF于点M，DN⊥AC于点N，DP⊥CE于点P，由BD,CD分别平分∠BAC，∠ACE，可得DM＝DP，DN＝DP，所以DM＝DN，AD是△ABC的外角∠FAC的平分线，在计算一下得到∠DAC=55°。

易错点4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三角形不一定全等。

例题：

解析：答案选D，根据题目的要求是用“SAS”判断全等，然后已知的条件∠ACF＝∠DBE，也就是知道“SAS”中的A了，就差两个S了。即FC=EB,AC=DB.因为AB=DC，BC=CB，所以AC=DB。就差FC=EB。

易错点5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定

例题：

解析：答案

，因为△ABC是等边三角形，且BD为中线，所以可以得到∠DBC=30°。又因为CE＝CD＝a，利用外角知识可以求得∠E=30°，即∠E=∠DBC=30°。也就是DE=BD,根据勾股定理可得BD=根号3的DC。

易错点6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用.

例题：

解析：答案25°或65°，这道题要讨论图形的情况，当△ABC为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形。不同情况下，根据题目画图，分别计算就可以得到结果。

易错点7：全等三角形与等腰三角形的综合应用

例题：

解析：

易错点8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例题：

解析：

易错点9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.

例题：

解析：

易错点10：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.

例题：

解析：答案D

易错点11：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.

例题：

易错点12：平行四边形的性质与判定.

例题：

易错点13：平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系.

例题：

易错点14：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系.

例题：

答案①④⑤

易错点15：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.

例题：

答案：60°或120°

易错点16：运用垂径定理的有关计算与证明，不善于添加辅助线构造直角三角形解决相关问题.

例题：

.已知梯形ABCD的各个顶点均在⊙O上，AB∥CD，⊙O的半径为8，AB＝12，CD＝4，则梯形ABCD的面积S＝______________________.

解析：答案16＋16或16－16

易错点17：切线的定义以及性质与判定的综合应用.

例题：

分析：本题由于没有理解切线的两种判定方法而出错.当直线经过圆上的某一点时，采用“连半径，判垂直”的方法；当不知道直线经过圆上哪一点时，采用“作垂直，判半径”的方法，此方法中千万要注意，不能从图形判断直线经过圆上哪一点，应从题目的条件中判断直线是否经过圆上哪一点.

易错点18：圆周角定理及其推论，特别是运用推论时易出错.

例题：

解析：

分析：本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过程过多.利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都需要连接某条弦或作直径，以得到90°角或实现角的等量转换.

易错点19：点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法.

例题：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心、R为半径所作的圆⊙C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是……………………………………（ ）

A.R＝2.4 B.3＜R＜4 C.R＝2.4或3＜R≤4 D.R＝2.4或3＜R＜4

答案C

易错点20：正多边形与圆的有关计算；弧长与扇形面积的计算.

例题：

解析：答案A

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